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By Dietlinde Lau

ISBN-10: 3540723641

ISBN-13: 9783540723646

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch liegt jetzt in korrigierter zweiter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

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Lassen sich A als Punkte einer (geknickten) Strecke (ohne die zu a und b geh¨ orenden Punkte) und B als Menge aller Punkte einer Geraden geometrisch veranschaulichen. ) A sei die Menge aller Punkte auf einer Kugel ohne N ( Nordpol“), ” B sei die Menge aller Punkte einer Ebene. 1 Sei M irgendeine Menge von Mengen. Dann ist die Relation R := {(A, B) ∈ M 2 | A ist gleichm¨achtig zu B} ¨ eine Aquivalenzrelation auf M . Beweis. Seien A, B, C beliebige Elemente aus M . Offenbar gilt A ∼ A, da die identische Abbildung idA eine bijektive Abbildung von A auf A ist.

Sei A ⊆ C. 2 kann C\A weder endlich noch abz¨ ahlbar sein. Folglich ist C\A u ¨ berabz¨ahlbar und enth¨ alt nach (a) eine abz¨ ahlbare Teilmenge N . Sei M := (C\A)\N . Dann gilt C\A = N ∪ M und C = (A ∪ N ) ∪ M . Zwischen den abz¨ahlbaren Mengen N und A ∪ N gibt es eine bijektive Abbildung. Ordnet man außerdem jedem x ∈ M wieder x zu, hat man eine bijektive Abbildung zwischen C\A und C erhalten, womit C\A ∼ C gezeigt ist. 3. Ist B u ¨ berabz¨ahlbar, so ist A ∪ B ebenfalls u ahlbar und mit Hilfe von (b) folgt (c) aus B = ¨ berabz¨ (A ∪ B)\(A \ B) ∼ A ∪ B.

Statt f ((a, b)) (f dabei aus {✷, ◦, +, . }) schreiben wir f (a, b) bzw. af b, a✷b, a ◦ b, a + b, . . ) Die gew¨ ohnliche Addition auf der Menge der reellen Zahlen l¨aßt sich wie folgt beschreiben: + : R × R −→ R, (x, y) → x + y. Sie ist offenbar eine innere Verkn¨ upfung auf R. ) Die Verkettung von Relationen ✷ : P(A) −→ P(A), (R, Q) → R✷Q ist eine innere Verkn¨ upfung auf der Menge P(A). Definition Seien A und K nichtleere Mengen. Eine ¨ außere Verkn¨ upfung auf A mit dem Skalarbereich K ist eine Abbildung ∧K : K × A −→ A, (k, a) → k ∧K a.

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